Arveson 空间上的 Schur 类乘子：de Branges-Rovnyak 再生核空间与交换传递函数实现

经典 Schur 类的一个有趣且近来被大量研究的推广，是单位球 ${\mathbb B}^{d} \subset {\mathbb C}^{d}$ 上再生核 Hilbert 空间 ${\mathcal H}(k_{d})$ 的压缩算子值乘子 $S$ 类，其中 $k_{d}$ 是 ${\mathbb B}^{d}$ 上的正核 $k_{d}(\lambda, \zeta) = 1/(1 - < \lambda, \zeta >)$。与正核 $K_{S}(\lambda, \zeta) = (I - S(\lambda) S(\zeta)^{*}) \cdot k_{d}(\lambda, \zeta)$ 相伴的再生核空间 ${\mathcal H}(K_{S})$ 是经典 de Branges-Rovnyak 规范模型空间的自然多变量推广。多变量情形出现的一个特殊特征是，空间 ${\mathcal H}(K_{S})$ 一般可能在 ${\mathcal H}(k_{d})$ 上乘法算子 $M_{\lambda_{j}} \colon f(\lambda) \mapsto \lambda_{j} f(\lambda)$ 的伴随 $M_{\lambda_{j}}^{*}$ 下不不变。我们证明 ${\mathcal H}(K_{S})$ 对每个 $j = 1, ..., d$ 在 $M_{\lambda_{j}}^{*}$ 下不变，等价于 $S$ 存在弱余等距实现 $S(\lambda) = D + C (I - \lambda_{1}A_{1} ... - \lambda_{d} A_{d})^{-1}(\lambda_{1}B_{1} + ... + \lambda_{d} B_{d})$，使得状态算子 $A_{1}, ..., A_{d}$ 两两交换。我们证明这一特殊情形对于内函数 $S$（其中相伴乘法算子 $M_{S}$ 是部分等距）总成立，并且内乘子由存在这样的实现刻画，其中状态算子 $A_{1}, ..., A_{d}$ 满足一个额外的稳定性性质。