Schur 类的多变量推广：正核刻画与传递函数实现

算子值 Schur 类定义为将单位圆盘映射到两个 Hilbert 空间之间压缩算子空间的全纯函数 $S$ 的集合。存在多种替代刻画：乘以 $S$ 的算子定义了两个 Hardy Hilbert 空间之间的压缩算子，$S$ 满足 von Neumann 不等式，与 $S$ 相关的某个算子值核是正定的，且 $S$ 可实现为耗散（甚至保守）离散时间线性输入/状态/输出线性系统的传递函数。近年来出现了该类的各种多变量推广，其中最具包容性的是 Muhly 和 Solel 提出的推广，其中单位圆盘被替换为与 $W^{*}$-代数 $\cA$ 上的 $W^{*}$-对应 $E$ 及其 $*$-表示 $\sigma$ 相关联的对偶对应 $E^{\sigma}$ 元素的严格单位球。我们在此引入的主要新点是再生核 Hilbert 对应概念的引入，并将 Muhly-Solel Hardy 空间识别为与经典 Szeg"o 核的完全正类比相关的再生核 Hilbert 对应。通过这种方式，我们能够使 Muhly-Solel Schur 类与经典 Schur 类之间的类比更加完整。我们还通过将理论专门化到一些研究充分的特例来说明该理论；在某些情况下，由此产生了新型的实现定理。