Schur--Agler 与 Herglotz--Agler 函数类：正核分解与传递函数实现

我们讨论将单位多圆盘或右多半平面映射到单位圆盘或右半平面的算子类比的多变量全纯函数的传递函数实现（即定义在单位多圆盘或右多半平面上的 Schur/Herglotz 函数），这些函数在其取值于严格压缩算子或严格耗散算子的交换组上时满足适当的更强压缩/实部为正条件（即定义在单位多圆盘或右多半平面上的 Schur--Agler/Herglotz--Agler 函数）。正如 Agler 最初所示，第一种情况（多圆盘到圆盘）可以通过对由函数核分解规范构造的部分定义等距算子进行酉扩展来解决（即{\em 潜伏等距方法}）。我们展示了如何通过对潜伏等距方法进行几何重构（将 Kre\u{ĭ}n 空间的给定各向同性子空间嵌入到 Lagrangian 子空间中——即{\em 潜伏各向同性子空间方法}）来处理第二和第三种情况（多圆盘到半平面以及多半平面到圆盘），以及在 $\infty$ 处施加额外增长条件时处理最后一种情况（多半平面到半平面）。对于一般的第四种情况，我们展示了如何利用线性分式变换的变量替换来获得适当的对称化非齐次 Bessmertny\u{ĭ} 长预解式实现。我们还指出了这一最后结果如何恢复了将右半平面映射到其自身的标量值全纯函数的经典积分表示公式。