有限交换环上 $\mathrm{SL}_2$ 的舍尔纳乘子

本文研究了有限交换局部环 $A$ 上的特殊线性群 $\mathrm{SL}_2(A)$ 的舍尔纳乘子。我们证明，只要残余域 $A/\mathfrak{m}_A$ 的特征为奇数且 $|A/\mathfrak{m}_A| \neq 3,5,9$，则这些群的舍尔纳乘子同构于 $K$-群 $K_2(A)$。作为应用，我们指出，如果 $A$ 为 Galois 环 $\mathrm{GR}(p^l,m)$ 或准-Galois 环 $A(p^m,n)$，且残余域特征为奇数且 $|A/\mathfrak{m}_A| \neq 3,5,9$，则 $\mathrm{SL}_2(A)$ 的舍尔纳乘子为平凡的。