旋转曲面上具有多项式窄带宽的准模的界

给定一个具有 Laplace-Beltrami 算子 $\Delta$ 的紧致旋转曲面，我们考虑与自伴算子 $\sqrt{-\Delta}$ 相关联的、在多项式窄频率区间 $[\lambda-\delta,\lambda + \delta]$ 上的谱投影 $P_{\lambda,\delta}$。对于一大类旋转曲面，并在排除极点周围的小圆盘后，我们证明了 $P_{\lambda,\delta}$ 的 $L^2 \to L^{\infty}$ 范数的阶为 $\lambda^{\frac{1}{2}} \delta^{\frac{1}{2}}$，直至 $\delta \geq \lambda^{-\frac{1}{32}}$。我们采用了 Sogge 针对 $\delta = 1$ 情形引入的微局部方法，并利用了 Colin de Verdière 引入的旋转曲面的量子完全可积结构。这将分析归结为对一系列显式振荡积分的估计，为此我们引入了新的定量工具。这是在 $\delta \ll 1$ 情形下，超越局部对称曲面（环面、球面、算术双曲曲面）的首个精确结果。