计数旋转曲面上的节点域

我们考虑特殊旋转曲面上 Laplace-Beltrami 算子的本征函数。对于这个可分离系统，（实）本征函数的节点域形成棋盘格图案，其数量 $\nu_n$ 与角量子数和“表面”量子数的乘积成正比。通过按 Laplace-Beltrami 谱值的递增顺序排列波函数，我们获得了节点序列，并研究了其统计性质。特别是，我们研究了归一化计数 $\frac{\nu_n}{n}$ 的分布，针对满足 $K \le n\le K + \Delta K$ 的本征函数序列，其中 $K,\Delta K \in \mathbb{N}$。我们表明，当 $K,\Delta K\to\infty$ 时（经典极限），该分布趋近于一个极限，并研究了半经典极限下的主导修正项。利用这些信息，我们推导出了本文的核心结果：镜面对称曲面的节点序列足以唯一确定其形状（模去缩放因子）。