Laplace 本征函数节点几何中的符号与面积
偏微分方程分析
2007-05-23 v2 复变函数
摘要
本文研究闭曲面上 Laplace-Beltrami 算子的渐近节点几何。给定对应于大本征值的本征函数 f，我们研究 sign(f) 关于曲面面积的分布之局部不对称性。其度量方式如下：取任意以节点线 {f=0} 为中心的圆盘，并在该圆盘内随机取一点。所选点上函数取正值的概率是多少？我们证明该量可随本征值趋于无穷而对数衰减，但绝不会快于此。换言之，只可能出现轻微局部不对称性。证明结合了 Donnelly-Fefferman 与 Nadirashvili 的方法以及关于单位圆盘中调和函数的一个新结果。
引用
@article{arxiv.math/0402412,
title = {Sign and area in nodal geometry of Laplace eigenfunctions},
author = {Fedor Nazarov and Leonid Polterovich and Mikhail Sodin},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0402412},
year = {2007}
}
备注
35 pages, improvement of presentation, refinement of the section on the Donnelly-Fefferman inequality