Sobolev 函数的一类尖锐不等式

设 $N\geq 5$，$\Omega$ 为 $\mathbb{R}^{N}$ 中的光滑有界区域，${2^*}=\frac{2N}{N-2}$，$a>0$，$S=\inf\left\{\left. \int_{\mathbb{R}^{N}}|\nabla u|^2\,\right|\,u\in L^{2^*}(\mathbb{R}^{N}), \nabla u\in L^2(\mathbb{R}^{N}), \int_{\mathbb{R}^{N}}|u|^{2^*}=1 \right\}$ 且 $||u||^2=|\nabla u|_{2}^2+a|u|_{2}^2$。我们定义 ${2^\flat}= \frac{2N}{N-1}$，${2^\#}=\frac{2(N-1)}{N-2}$ 并考虑满足 ${2^\flat}\leq q\leq{2^\#}$ 的 $q$。我们还定义 $s=2-N+\frac{q}{{2^*}-q}$ 和 $t=\frac{2}{N-2}\cdot \frac{1}{{2^*}-q}$。我们证明存在一个 $\alpha_{0}(q,a,\Omega)>0$，使得对于所有 $u\in H^1(\Omega)\setminus\{0\}$，有 $$\frac{S}{2^{\frac 2N}}{|u|_{{2^*}}^2}\leq||u||^2+\alpha_{0} \left(\frac{||u||}{|u|_{{2^*}}^{2^*/2}}\right)^s|u|_{q}^{qt},\qquad{(I)_{q}}$$ 其中范数均在 $\Omega$ 上定义。不等式 $(I)_{{2^\flat}}$ 由 M. Zhu 提出。