Paneitz 型方程与常 Q 曲率度量的全局分岔

我们考虑闭 Riemann 流形 $(M,g)$ 上的 Paneitz 型方程 $\Delta^2 u -\alpha \Delta u +\beta (u-u^q ) =0$。假设 $(M,g)$ 容许一个正常等参函数，我们将该方程化为一个四阶常微分方程。假设 $\alpha$ 和 $\beta$ 为正且 $\alpha^2 >4\beta$，我们证明该常微分方程的全局非常数解仅具有非退化临界点。应用全局分岔理论，我们证明了该方程正解的多重性结果。作为应用与动机，我们证明了共形常 $Q$ 曲率度量的多重性结果。例如，考虑维数 $n,m \geq 3$ 的闭正 Einstein 流形 $(M^n ,g )$ 和 $(X^m , h)$。假设 $M$ 容许一个正常等参函数（带有对称条件），我们证明当 $\delta >0$ 趋近于 0 时，与 $g_{\delta} = g+\delta h$ 共形的常 $Q$ 曲率度量的数量趋于无穷大。