等距浸入的平均曲率、体积与真性

我们探讨了黎曼流形中 $m$ 维等距浸入的体积、曲率与真性之间的关系。我们表明，当平均曲率向量的 $L^p$-范数对某些 $m \leq p\leq \infty$ 有界，且背景流形是具有有界几何的黎曼流形时，真性等价于外测球的体积有限。我们还将等距浸入黎曼流形中的曲面的总绝对曲率与其真性联系起来。最后，利用对 $M$ 中测地射线横向 Jacobi 场焦点的研究，我们将具有非正高斯曲率和有限拓扑的完备非紧 $2$-黎曼流形 $M$ 的曲率与其拓扑联系起来。特别是，我们探讨了测地射线的最小焦点距离与包含该测地射线的端点的总曲率之间的关系。