分数阶拉普拉斯算子的诺伊曼问题：通过梅林变换获得最优正则性

我们建立了分数阶拉普拉斯算子诺伊曼问题解的最优正则性，即在区域Ω内$(-\Delta)^s u=h$，外部条件为$\mathcal N^s u=0$在$\Omega^c$中。为此，关键在于建立具有增长性的1维刘维尔定理，我们通过复分析和梅林变换证明了该定理。更精确地说，我们证明了一个'元定理'，将1维解的分类与依赖于$L$的显式亚纯函数$f(z)$的（复）根联系起来。对于具有诺伊曼条件的分数阶拉普拉斯算子，我们证明当$s\leq 1/2$时所有解均为$C^{2s+\alpha}$，当$s\geq 1/2$时所有解均为$C^{s+\frac12+\alpha}$。此外，非常令人惊讶的是，我们证明即使在1维中也存在高度振荡的解，形式为$u(x)=x^{a} \cos(b \log x)$（$x>0$），其中$a>0$且$b>0$依赖于$s$，且当$s\sim 1$时$a<2s$。