源于分数阶 Keller--Segel 模型的分数阶半线性 Neumann 问题

我们考虑光滑有界区域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$（$n\geq2$）上的如下分数阶半线性 Neumann 问题：$$\begin{cases} (-\varepsilon\Delta)^{1/2}u+u=u^{p},&\hbox{in}~\Omega,\ \partial_\nu u=0,&\hbox{on}~\partial\Omega,\ u>0,&\hbox{in}~\Omega, \end{cases}$$ 其中 $\varepsilon>0$ 且 $1<p<(n+1)/(n-1)$。这是 Lin--Ni--Takagi 在 20 世纪 80 年代末研究的半线性 Neumann 问题的分数阶版本。该问题源于考虑具有非局部化学浓度扩散的 Keller--Segel 模型的稳态。利用延拓方法的半群语言和变分技巧，我们证明了对于小 $\varepsilon$，存在通过最小化合适的能量泛函获得的非常数光滑解。在大 $\varepsilon$ 的情况下，我们得到了非常数解的不存在性。结果还表明，当 $\varepsilon\to0$ 时，解 $u_\varepsilon$ 在 $\Omega$ 上依测度趋于零，而它们在 $\overline{\Omega}$ 中形成尖峰。我们在此发展的分数阶 Neumann Laplacian 的正则性估计对于该分析至关重要。后者的结果具有独立的意义。