关于分数阶拉普拉斯算子的一些 Liouville 定理

在本文中，我们证明了以下结果：设 $\alpha$ 为 $0$ 到 $2$ 之间的任意实数。假设 $u$ 是以下方程组的解：$$\left\{\begin{array}{ll} (-\Delta)^{\alpha/2} u(x) = 0 , \;\; x \in \mathbb{R}^n ,\\ \displaystyle\underset{|x| \to \infty}{\underline{\lim}} \frac{u(x)}{|x|^{\gamma}} \geq 0 , \end{array} \right.$$ 其中 $0 \leq \gamma \leq 1$ 且 $\gamma < \alpha$。那么 $u$ 在整个 $\mathbb{R}^n$ 上必为常数。这是一个在更弱条件下关于 $\alpha$-调和函数的 Liouville 定理。对于该定理，我们利用两种不同的方法给出了两种不同的证明：一种是使用位势论的直接方法；另一种是作为“唯一的 $\alpha$-调和函数是仿射函数”这一事实的推论，通过傅里叶分析得出。