球面上的共轴度量与代数数

在本文中，我们考虑如下曲率方程 $$\Delta u+{\rm e}^u=4\pi\biggl((\theta_0-1)\delta_0+(\theta_1-1)\delta_1 +\sum_{j=1}^{n+m}\bigl(\theta_j'-1\bigr)\delta_{t_j}\biggr)\qquad \text{in}\ \mathbb R^2,$$ $$u(x)=-2(1+\theta_\infty)\ln|x|+O(1)\qquad \text{as} \ |x|\to\infty,$$ 其中 $\theta_0$、$\theta_1$、$\theta_\infty$ 以及对于 $1\le j\le n$ 的 $\theta_{j}'$ 为正非整数，而对于 $n+1\le j\le n+m$ 的 $\theta_{j}'\in\mathbb{N}_{\geq 2}$ 为整数。从几何上看，解 $u$ 给出了球面上曲率为 $1$ 的锥度规 ${\rm d}s^2=\frac12 {\rm e}^u|{\rm d}x|^2$，在 $0$、$1$、$\infty$ 以及 $t_j$（$1\le j\le n+m$）处具有锥奇点，其角度分别为 $2\pi\theta_0$、$2\pi\theta_1$、$2\pi\theta_\infty$ 和 $2\pi\theta_{j}'$。如果存在 $u$ 的展开映射 $h(x)$ 使得射影单值群包含于单位圆中，则度量 ${\rm d}s^2$ 或解 $u$ 被称为共轴 (co-axial) 的，这一概念由 Mondello 和 Panov 引入。Mondello-Panov (2016) 与 Eremenko (2020) 给出了此类度量存在的以角度表示的充要条件。在本文中，我们固定角度并研究奇点 $t_1,\dots,t_{n+m}$ 的位置。令 $A\subset\mathbb{C}^{n+m}$ 为使得共轴度量存在的那些 $(t_1,\dots,t_{n+m})$ 的集合，除其他外我们证明：(i) 若 $m=1$，即 $\theta_j'$ 中仅有一个整数 $\theta_{n+1}'$，则 $A$ 为有限集。此外，对于 $n=0$ 的情形，我们得到了集合 $A$ 基数的一个锐界。我们应用 Eremenko、Gabrielov 和 Tarasov (2016) 的一个结果以及超几何方程的单值性来得到此界。(ii) 若 $m\ge 2$，则 $A$ 为维数 $\leq m-1$ 的代数集。