关于 $\mathbb{S}^6$ 上轴对称函数的 Beckner 不等式

我们证明，对于 $Q$-曲率型问题 $$\alpha P_6 u + 120(1-\frac{e^{6u}}{\int_{\mathbb{S}^6} e^{6u}})=0 \ \ \ \ \ \mbox{on} \ \mathbb{S}^6$$ 的轴对称解，只要 $\frac{1}{2}\leq \alpha <1$，其必为常数。鉴于 Gui-Hu-Xie \cite{GHW2022} 在 $\frac{1}{7}<\alpha<\frac{1}{2}$ 时获得非常数解的存在性，该结果是尖锐的。此结果弥补了 \cite{GHW2022} 中相关结果的空缺，后者证明了在 $\alpha \geq 0.6168$ 时的类似唯一性结果。该改进基于两类新估计：其一是对半范数 $\lfloor G\rfloor^2$ 的更优估计，其二是关于 Gegenbauer 系数的一系列精细估计，例如点态衰减与相消性质。