关于带负指数双调和方程的点态不等式及相关问题

受 Fazly、Wei 和 Xu [Anal. PDE., 8(2015) 1541--1563] 最近关于 ${\mathbb R}^n$ 中四阶 H\'enon 方程 $\Delta^2 u = |x|^a u^p$（其中 $a \geqslant 0$，$p > 1$，$n \geqslant 5$）正有界解的点态微分不等式的启发，首先，对于四阶方程 $$\Delta^2u=-u^{-q} \quad \text{ in } \mathbb R^n$$（其中 $q > 1$）的正 $C^4$ 解，我们在 ${\mathbb R}^n$（$n \geqslant 3$）中针对某些正常数 $\alpha$ 和 $\beta$ 建立了如下点态不等式 $$\Delta u \geqslant \alpha u^{-\frac{q-1}2} + \beta u^{-1} |\nabla u|^2$$。接下来，我们证明了具有混合符号指数的 Lane--Emden 系统的比较性质。最后，我们通过建立 Lane--Emden 型抛物系统的比较性质，给出了抛物模型的一个类似结果。为获得所有这些结果，我们引入了一种极大值原理的新论证，它使我们能够处理在无穷远处高速增长的解。我们期望看到这一新方法在不同背景下对其他问题的更多应用。