四阶 Lane-Emden 方程的一个逐点不等式

我们证明以下逐点不等式成立：\begin{equation*} -\Delta u \ge \sqrt\frac{2}{(p+1)-c_n} |x|^{\frac{a}{2}} u^{\frac{p+1}{2}} + \frac{2}{n-4} \frac{|\nabla u|^2}{u} \ \ \text{in}\ \ \mathbb{R}^n \end{equation*} 其中 $c_n:=\frac{8}{n(n-4)}$，针对四阶 H\'{e}non 方程 \begin{equation*} \Delta^2 u = |x|^a u^p \ \ \ \ \text {in }\ \ \mathbb{R}^n \end{equation*} 的正有界解，其中 $a\ge0$ 且 $p>1$。受 Moser 对 Harnack 不等式的证明以及正则性理论中 Moser 迭代型论证的启发，我们开发了一种迭代论证来证明上述逐点不等式。据我们所知，这是首次将此类论证应用于构建偏微分方程的逐点不等式。一个有趣的点是，系数 $\frac{2}{n-4}$ 也出现在四阶 $Q$-曲率和 Paneitz 算子中。这特别意味着具有共形因子 $u^\frac{4}{n-4}$ 的共形度量的标量曲率为正。