具有次平方指数的 Lane-Emden 方程正解的严格数值包含

本文旨在获得具有齐次 Dirichlet 边界条件的 Lane-Emden 方程 $-\Delta u=|u|^{p-1} u$ 解的严格数值包含。我们证明了在数值计算的近似 $\hat{u}$ 附近存在非简并解 $u$，并给出了显式误差界，即 $u$ 与 $\hat{u}$ 之间差值的界限。特别地，我们关注 $1<p<2$ 的次平方情形，使得非线性项 $|u|^{p-1} u$ 的导数 $p|u|^{p-1}$ 不满足 Lipschitz 连续性。在这种情况下，应用经典 Newton-Kantorovich 定理进行存在性证明是有问题的，而且在严格获得数值积分的过程中也会出现一些困难。我们设计了一种显式包含所需积分的方法，并基于广义 Newton-Kantorovich 定理证明了所需解的存在性。文中给出了一个数值示例，在单位正方形区域 $\Omega=(0,1)^2$ 上对 $p=3/2$ 获得了显式的解包含。