曲率的 Liouville 方程与收缩亏量

我们在给定高斯曲率适当界限的条件下，分析了曲率 Liouville 方程解的概然方差。相关的收缩几何最近由 Horowitz、Katz 和 Katz 研究，我们得到了 Loewner 环面不等式的强化形式，其中包含一个“亏量项”，类似于 Bonnesen 对等周不等式的强化。此处类似的等收缩亏量项依赖于度量，并“度量”其偏离平坦的程度。即，该亏量是函数 f 的方差，f 作为共形因子，将环面上的度量表示为 $f^2(x,y)(dx^2+dy^2)$，以共形类中的平坦单位面积度量为基准。一个关键工具是概然方差的计算公式，它是 Cauchy-Schwartz 不等式的一种强化形式。