共形度量的非线性柯西-黎曼方程与刘维尔方程

我们引入非线性柯西-黎曼方程作为若干非线性和线性偏微分方程的Bäcklund变换。基于这些方程，我们通过推导非线性刘维尔方程的通解来详细处理拉普拉斯方程和刘维尔方程。借助莫比乌斯变换，我们将双曲几何的庞加莱模型、半平面上的克莱因模型以及伪球面的解联系起来。讨论了这些几何中常曲率度量的共形形式、球极投影以及特解。随后我们引入黎曼球面的双曲类比，称之为黎曼伪球面。我们确定了该伪球面上的无穷远点，并表明它可在复分析中作为通常黎曼球面的替代来扩展复平面。给出了黎曼球面和黎曼伪球面上对称点与对跖点的解释。通过莫比乌斯变换和齐次坐标，推导了Crowdy所讨论的刘维尔方程的最一般解。