Calabi-Yau 锥的刘维尔定理与 $C^{\alpha}$ 估计

设 $(\mathscr{C}, \omega_{\mathscr{C}})$ 为一个 Ricci 平坦、单连通的锥形 Kähler 流形。我们为 $\mathscr{C}$ 上的常标量曲率 Kähler (cscK) 度量建立了一个刘维尔定理。该定理断言，任何满足一致界 $\frac{1}{C} \omega_{\mathscr{C}} \leq \omega \leq C \omega_{\mathscr{C}}$（对于某个 $C\geq1$）的 cscK 度量 $\omega$，在相差一个与锥结构的缩放作用可交换的全纯自同构的意义下等于 $\omega_{\mathscr{C}}$。接下来，我们利用受 Krylov 启发的 Hölder 型半范数，对顶点附近球体上一致有界的 Kähler 度量建立了一个 $C^{0,\alpha}$ 估计。在标量曲率一致有界的假设下，该估计适用于较小的 $\alpha > 0$。作为该结果的推论，我们证明了这样的 Kähler 度量 $\omega$ 渐近于 Ricci 平坦的锥度量 $\omega_{\mathscr{C}}$，其多项式衰减率为 $r^\alpha$，且对于足够小的 $\alpha > 0$ 成立。