具有物质中心电荷 $\mathbf{c} \in (-\infty, 25)$ 的弱刘维尔量子引力度量

物理考量表明，对于所有物质中心电荷 $\mathbf{c} \in (-\infty,25)$ 的取值，刘维尔量子引力（LQG）理论都应当存在。概率论学者已严格地将 LQG 定义为 $\mathbf{c} < 1$ 时的随机度量测度空间；然而，他们仅在最近才开始探索 $\mathbf{c} \in (1,25)$ 相中的 LQG。我们通过一组类似于 $\mathbf{c} < 1$ 情形下所陈述的公理，为所有 $\mathbf{c} < 25$ 定义了与 LQG 相关联的随机度量。我们通过考虑一种称为刘维尔首达渗流（Liouville first passage percolation）的逼近度量，证明了这样的度量对每个 $\mathbf{c}$ 都存在。Ding 与 Gwynne 证明了这些逼近度量在适当选取的拓扑中是紧的；我们证明了每个子列极限都满足我们的公理。特别地，我们的结果在临界情形 $\mathbf{c} =1$ 中定义了与 LQG 相关联的度量。我们为 $\mathbf{c} \in (1,25)$ 定义的度量展现出与 $\mathbf{c} < 1$ 情形截然相反的几何行为。我们证明，对于 $\mathbf{c} \in (1,25)$，这些度量不诱导欧几里得拓扑，因为它们几乎必然具有一个稠密（测度为零）的奇点集合，即与所有其他点距离为无穷远的点。我们利用这一事实证明，几乎必然地，度量球不是紧的且其边界具有无穷 Hausdorff 维数。尽管存在这些差异，我们证明了 $\mathbf{c} < 1$ 时 LQG 度量的许多性质以某种形式推广到整个区间 $(-\infty, 25)$。我们证明这些度量几乎必然关于欧几里得度量是反 Hölder 连续的，几乎必然是完备的且在奇点集之外是测地的，并满足在 $\mathbf{c} < 1$ 相中成立的集合到集合距离的上界。最后，我们证明这些度量满足一个版本的（几何）Knizhnik-Polyakov-Zamolodchikov（KPZ）公式。