超临界刘维尔首达渗流 tightness 性

参数为 $\xi >0$ 的刘维尔首达渗流（LFPP）是通过沿路径对 $e^{\xi h_\epsilon}$ 积分而得到的平面上一族随机距离函数 $\{D_h^\epsilon\}_{\epsilon >0}$，其中对于 $\epsilon >0$，$h_\epsilon$ 是平面高斯自由场的光滑磨光。Ding-Dubédat-Dunlap-Falconet 与 Gwynne-Miller 的先前工作已表明存在一个临界值 $\xi_{\mathrm{crit}} > 0$，使得当 $\xi < \xi_{\mathrm{crit}}$ 时，LFPP 在适当重标度下收敛到平面上的一个随机度量，该度量诱导出与欧氏度量相同的拓扑（即所谓的 $\gamma$-\emph{刘维尔量子引力度量}，其中 $\gamma = \gamma(\xi)\in (0,2)$）。我们证明对所有 $\xi > 0$，LFPP 度量关于下半连续函数上的拓扑是 tight 的。对于 $\xi > \xi_{\mathrm{crit}}$，每一个可能的子列极限 $D_h$ 都是平面上不诱导欧氏拓扑的度量：相反，存在不可数、稠密、勒贝格测度为零的点集 $z\in\mathbb C$，使得对每个 $w\in\mathbb C\setminus \{z\}$ 都有 $D_h(z,w) = \infty$。我们预期这些子列极限度量与物质中心电荷在 $(1,25)$ 的刘维尔量子引力有关。