Liouville 首达渗流中距离与测地维数的界

对 $\xi \geq 0$，Liouville 首达渗流（LFPP）是 $\varepsilon \mathbb Z^2$ 上的随机度量，通过对每个顶点赋权 $\varepsilon e^{\xi h_\varepsilon(z)}$ 得到，其中 $h_\varepsilon(z)$ 是全平面高斯自由场 $h$ 在圆周 $\partial B_\varepsilon(z)$ 上的平均。Ding 与 Gwynne（2018）证明对 $\gamma \in (0,2)$，参数为 $\xi = \gamma/d_\gamma$ 的 LFPP 与 $\gamma$-Liouville 量子引力（LQG）相关，其中 $d_\gamma$ 为 $\gamma$-LQG 维数指数。对 $\xi > 2/d_2$，LFPP 则预期与中心电荷大于 1 的 LQG 相关。我们证明了对一般 $\xi\geq 0$ 的 LFPP 距离的若干估计。对 $\xi\leq 2/d_2$，这给出 $d_\gamma$ 的新界，在 $\gamma > \sqrt{8/3}$（相应 $\gamma \in (0.4981, \sqrt{8/3})$）情形改进了先前已知最佳上界（相应下界）。这些界与 Watabiki（1993）对 $d_\gamma$ 的预言一致。然而，对 $\xi > 1/\sqrt 3$（或等价地中心电荷大于 17 的 LQG）我们的界与 Watabiki 预言解析延拓到 $\xi >2/d_2$ 区域不符。我们还得到了 LFPP 测地线的欧氏维数上界。