弱 LQG 度量与 Liouville 首达渗流

对于 $\gamma \in (0,2)$，我们定义弱 $\gamma$-Liouville 量子引力（LQG）度量为一个函数 $h\mapsto D_h$，它接收一个平面高斯自由场（GFF）的实例并输出平面上的一个度量，满足一组自然公理。我们证明 Liouville 首达渗流的任何子列极限均满足这些公理。此类子列极限的存在性由 Ding-Dubédat-Dunlap-Falconet（2019）证明。已知 Miller 与 Sheffield（2013–2016）构造的 $\sqrt{8/3}$-LQG 度量也满足这些公理。对任意弱 $\gamma$-LQG 度量，我们获得了集合直径的矩界以及点对点、集合到集合和点对集合距离的矩界。我们还证明任意此类度量相对于欧氏度量是局部双 Hölder 连续的，并计算出两个方向的最优 Hölder 指数。最后，我们证明 LQG 测地线不能在一条直线或度量球的边界附近停留过久。这些结果被 Gwynne 与 Miller 的后续工作所使用，该工作证明了弱 $\gamma$-LQG 度量对每个 $\gamma \in (0,2)$ 是唯一的，进而给出 Liouville 首达渗流子列极限的唯一性。然而，即便在 $\gamma=\sqrt{8/3}$ 的特殊情形下，我们的大部分结果也是新的。