超临界 Liouville 量子引力度量下测地线的正则性与汇聚性

设 $h$ 为平面高斯自由场，$D_h$ 为与 $h$ 关联的超临界 Liouville 量子引力（LQG）度量。此类度量作为超临界 Liouville 首达渗流的次序列缩放极限出现（Ding-Gwynne，2020），并对应于物质中心电荷 $\mathbf{c}_{\mathrm M} \in (1,25)$ 的取值。我们证明，几乎必然地，$D_h$-度量球的每个补集连通分支的边界是一条 Jordan 曲线，且关于 $D_h$ 是紧致且有限维的。这与 $D_h$-度量球的\emph{整个}边界形成对比，后者关于 $D_h$ 是非紧致且无限维的（Pfeffer，2021）。利用我们对 $D_h$-度量球补集连通分支边界的正则性结果，我们将 Gwynne-Miller（2019）的测地线汇聚结果推广到超临界 Liouville 量子引力情形。这些结果表明，两条具有相同起点和不同终点的 $D_h$-测地线在一个非平凡的初始时间区间内重合。