从刘维尔量子引力中无穷测地线所见的環境

在 $\mathbb{Z}^d$ 或 $\mathbb{R}^d$ 上的首达渗流(FPP)是一种随机度量空间的典型模型，其中标准欧几里得几何被随机噪声扭曲。核心关注在于测地线的长度与几何结构，即点间最短路径。由于后者因其长度最小化而穿越底层噪声变量的非典型低值，量化位于测地线上的某点处扎根的环境与典型环境之间的差异是一个重要问题。我们在 $\gamma$-刘维尔量子引力(LQG)（其中 $\gamma \in (0,2)$ 为参数）——一种由随机度量张量 $e^{2\gamma h/d_{\gamma}} ({dx^2+dy^2})$ 在复平面上诱导出的随机黎曼曲面，其中 $h$ 为整平面、适当居中的高斯自由场(GFF)，$d_\gamma$ 为关联维度——的背景下研究此问题。我们考虑从原点出发的唯一无穷测地线 $\Gamma$，由其化学长度的对数参数化，并证明对于 $h$ 的几乎必然实现，在以“均匀”采样于 $\Gamma$ 的点为根的球上，适当缩放的场与诱导度量的分布分别收敛于广义函数空间与单位圆盘上连续度量空间中的确定性测度。此外，我们证明生活在单位圆盘上的极限对象相对于其典型对应物是奇异的，但在远离原点处变为绝对连续。我们的论证依赖于借助因合并与GFF的域马尔可夫性而在测地线上具有快速衰减相关性的再生结构。尽管近期针对KPZ类随机平面生长模型的该问题已取得重大进展，本工作开启了LQG背景下的这一研究纲领。