学位论文：随机黎曼度量的测地线

我们引入黎曼首达渗流（Riemannian FPP）作为一种新的随机微分几何模型，该模型考虑定义在 $\mathbb R^d$ 上的随机光滑黎曼度量。我们的研究动机源于首达渗流（FPP）的随机几何，FPP是一种为模拟流体在多孔介质中的流动而发展的晶格模型。通过改编标准FPP的技术，我们证明了该模型的一个形状定理，该定理表明在此度量下的大球在重标度下收敛于一个确定形状。作为推论，我们证明了光滑随机黎曼度量几乎必然测地完备。在微分几何中，测地线是局部长度最小的曲线。它们不必全局如此：考虑球面上的大圆。对于FPP的晶格模型，有许多关于最小化测地线的开放问题；类似地，从几何角度看，测地线何时全局最小化也很有趣。在本研究中，我们证明对于任意固定的起始方向 $v$，从原点沿方向 $v$ 出发的测地线几乎必然不是最小化的。这是一个利用连续统无穷小结构的新结果，在FPP的离散晶格模型中没有等价物。