用芬斯勒几何识别潜空间距离

黎曼几何为我们提供了强大的工具来探索生成模型的潜空间，同时保留数据的底层结构。潜空间可以配备从数据流形拉回的黎曼度量。借助该度量，我们可以依赖测地线（定义为两点间最短曲线）来系统地导航该空间。生成模型通常是随机的，导致数据空间、黎曼度量和测地线也都是随机的。随机对象操作起来即便不算不可能，也至少很不方便。一种常见的解决方案是用其期望来近似随机拉回度量。但由该期望黎曼度量导出的测地线并不对应于期望的长度最小化曲线。在本工作中，我们提出另一种度量，其测地线显式地最小化拉回度量的期望长度。我们证明该度量定义了一个芬斯勒度量，并将其与期望黎曼度量进行比较。在高维下，我们证明两种度量以 $O\left(\frac{1}{D}\right)$ 的速率相互收敛。该收敛意味着既有的期望黎曼度量是理论上更扎实的芬斯勒度量的准确近似。这为在实际实现中使用期望黎曼度量提供了依据。