关于重ductive 齐次空间上测地距离的分析与计算
摘要
许多几何机器学习和图像分析应用需要在 3D 位置和方向的 5D 齐次空间 SE(3)/SO(2) 上定义左不变度量。这在等变神经网络 (G-CNNs) 或基于 PDE 的群卷积神经网络 (PDE-G-CNNs) 中实现, 因为黎曼度量进入到多层感知器、消息传递以及在黎曼球上进行的最大池化中。 在 PDE-G-CNNs 中, 建议取 SE(3)/SO(2) 纤维上最小左不变黎曼距离; 而在 G-CNNs 和许多几何图像处理方法中, 则提倡使用高效的 SO(2) -conjugation 不变 section。是否应该这样 computationally much more efficient 的 section 总是选择纤维上的距离最小化? 我们指出这一猜想在一般情况下不成立, 在实际中使用的对数范数近似设置下, 我们分析了小的 (有时消失的) 差异。我们首先证明, 最小距离 section 由具有恒定动量且沿纤维上加速度为零的最小水平测地线实现, 并将该结果推广到具有合法度量和可交换结构群的 (reductive) 齐次空间。
引用
@article{arxiv.2504.04878,
title = {Analysis and Computation of Geodesic Distances on Reductive Homogeneous Spaces},
author = {Remco Duits and Gijs Bellaard and Barbara Tumpach},
journal= {arXiv preprint arXiv:2504.04878},
year = {2025}
}
备注
Accepted Proceedings GSI LNCS 16034 (NB. In the published LNCS 16034 paper the Hamiltonian vector field associated to the Hamiltonian lack the over-right arrow, as there the LNCS compilation screwed up the standard \vec command, as result in the published LNCS paper the Hamiltonian vector fields have the same notation as the Hamiltonian)