Liouville 量子重力度量坐标变换公式在所有共形映射下同时成立

Liouville 量子重力 (LQG) 在概念上是一种随机黎曼几何，其黎曼度量张量为 $e^{\gamma h} (\mathrm{d} x^2 + \mathrm{d} y^2)$，其中 $h$ 是高斯自由场的一种变体，$\gamma > 0$ 为参数。如果 $U \subset \mathbb{C}$ 为开集，$\phi \colon U \to \phi(U)$ 为共形映射，且 $h^{\phi} = h \circ \phi^{-1} + Q \log|(\phi^{-1})'|$（其中 $Q = Q(\gamma)$ 为参数），则使用场 $h$ 定义的 U 上的 LQG 表面等价于使用场 $h^{\phi}$ 定义的 $\phi(U)$ 上的 LQG 表面。这种等价性意味着这些表面上的面积测度和距离函数几乎必然等价。已知面积测度的等价性实际上对所有共形映射 $\phi$ 同时成立几乎必然成立（Sheffield-Wang 2016）。我们证明了对应的距离函数结果。这一结果精确地定义了频繁使用的量子表面 heuristic 定义：一种随机等价类的域，配备 LQG 面积测度和 LQG 距离函数。