Liouville 量子引力与 Brownian 映射 III：共形结构被确定

本系列先前的工作已证明，一个 $\sqrt{8/3}$-Liouville 量子引力（LQG）球面的实例具有良好定义的距离函数，并且所得的度量测度空间（mm-space）在分布上与 Brownian 映射（TBM）一致。在本工作中，我们证明仅给定 mm-space 结构，就可以几乎必然地恢复 LQG 球面。这意味着存在一种典范方式，通过欧几里得球面（在 Möbius 变换的意义下）来参数化 TBM 的一个实例。换言之，TBM 的一个实例具有典范共形结构。结论是 TBM 与 $\sqrt{8/3}$-LQG 球面是等价的。它们最终编码了相同的结构（一个带有测度、度量和共形结构的拓扑球面）并具有相同的分布。从这个观点来看，共形结构几乎必然决定度量，反之亦然，这一事实可被理解为该统一分布的一个性质。本工作的结果也意味着，对于具有其他拓扑的 Brownian 和 $\sqrt{8/3}$-LQG 曲面，类似的事实也成立。