具有边界的 Liouville 量子引力曲面作为树的配对

对于 $\gamma \in (0,2)$，量子盘与 $\gamma$-量子楔是具有边界的 Liouville 量子引力（LQG）曲面中最自然的两种类型。这些曲面分别作为有界与无界随机平面地图在缩放极限下出现。我们证明，在量子盘或 $\gamma$-量子楔上，空间填充 SLE$_{16/\gamma^2}$ 曲线的左右量子边界长度过程是一种具有相关系数 $-\cos(\pi\gamma^2/4)$ 的显式条件二维布朗运动。这将 Duplantier、Miller 与 Sheffield（2014）的树配对定理推广到具有边界的量子曲面情形（对于 $\gamma \in (\sqrt 2 , 2)$ 的盘情形此前已由 Duplantier、Miller、Sheffield 用不同方法处理）。作为一个应用，我们通过计算相关布朗运动相应泛函的分布，给出了给定边界长度的量子盘其 LQG 面积的条件律的显式公式。