$\kappa > 8$ 时 peanosphere 中的布朗运动关联

Duplantier、Miller 和 Sheffield 的 peanosphere（或“树的交配”）构造将某些类型的装饰有独立 SLE$_{\kappa}$（$\kappa = 16/\gamma^2 > 4$）的 $\gamma$-刘维尔量子引力（LQG）曲面（$\gamma \in (0,2)$）用相关的二维布朗运动编码，并提供了一个框架来证明装饰有统计物理模型的随机平面地图收敛到装饰有 SLE 的 LQG。此前，布朗运动的关联仅被明确识别为对于 $\kappa \in (4,8]$ 为 $-\cos(4\pi/\kappa)$，而对于 $\kappa > 8$ 未知。本工作的主要结果是该公式对所有 $\kappa > 4$ 成立。这提供了证明上述类型对于 $\kappa > 8$ 收敛结果所缺失的要素。我们的证明基于计算量子楔上 SLE$_{\kappa}$ 的某个尾指数，然后将其与布朗运动众所周知的某个指数相匹配。