Liouville 量子引力上的非简单共形环系综及 CLE 渗流界面的定律

我们研究在独立的 $\gamma$-LQG 曲面（$\gamma^2=16/\kappa'$）上绘制于其上的共形环系综 CLE$_{\kappa'}$（$\kappa'$ 在 $(4,8)$ 中）被探索时所切出的 Liouville 量子引力（LQG）曲面的结构。结果与我们在处理 $\kappa$ 在 $(8/3,4)$ 中、其环为不相交且简单的 CLE$_{\kappa}$ 的论文中的结果在性质上类似。特别地，我们用稳定生长-碎裂树或其变体来编码 LQG 曲面与 CLE$_{\kappa'}$ 的组合结构，这些也出现在装饰平面地图的剥皮过程的渐近研究中。这对先验不涉及 LQG 曲面的问题有影响：我们之前的论文“CLE percolations”描述了将 CLE$_{\kappa'}$ 的环以概率 $p$ 和 $1-p$ 独立染成两色时所获得界面的定律。该描述在缺失一个参数 $\rho$ 之前是完整的。本文关于 LQG 上 CLE 的结果使我们能够根据 $p$ 和 $\kappa'$ 确定其值。它特别地表明，CLE$_{\kappa'}$ 与 CLE$_{16/\kappa'}$ 通过 FK$_q$ 渗流与 $q$ 态 Potts 模型之间 Edwards-Sokal 耦合的连续类比相关联（即使对于 $1$ 到 $4$ 之间的非整数 $q$ 也有意义）当且仅当 $q=4\cos^2(4\pi /\kappa')$。这为长期以来的信念提供了进一步证据，即 CLE$_{\kappa'}$ 与 CLE$_{16/\kappa'}$ 表示当 $q$ 与 $\kappa'$ 以此方式相关时 FK$_q$ 渗流与 $q$-Potts 模型的标度极限。公式 $\rho(p,\kappa')$ 的另一个后果是此类划分并着色模型（又名模糊 Potts 模型）的半平面臂指数的值，其形式似乎与二维模型的通常临界指数不同。