Liouville 量子引力作为树的耦合

存在一种简单的方法将一对耦合的连续随机树 (CRT)“粘合”在一起，从而生成一个拓扑球面。该球面配备了一个测度和一条填充空间的曲线（描述了树之间的“界面”）。我们提出了一种显式且规范的方法，将该球面嵌入到 ${\mathbf C} \cup \{ \infty \}$ 中。在此嵌入下，该测度为参数 $\gamma \in (0,2)$ 的 Liouville 量子引力 (LQG)，而该曲线为参数 $\kappa' = 16/\gamma^2$ 的填充空间 SLE$_{\kappa'}$。实现这一目标需要我们开发一套广泛的工具来处理 LQG 曲面。我们解释了如何共形焊接所谓的“量子楔”以获得具有不同权重的新量子楔。我们构造了各种类型的有限体积量子圆盘和量子球面，并给出了由与边界相交的 SLE$_{\kappa}(\rho)$ 过程（其中 $\kappa \in (0,4)$）所切割出的量子圆盘集合的泊松描述。我们还建立了位于 SLE$_{\kappa'}$（其中 $\kappa' \in (4,8)$）左侧（或右侧）的量子圆盘集合的 L\'evy 树描述。我们表明，给定两棵这样独立采样的树，几乎必然存在一种规范的方法将它们“拉链式地耦合”在一起并恢复出 SLE$_{\kappa'}$。早先的一篇论文已证明，我们所研究的 CRT 对的定律是与 FK 装饰的随机平面图 (RPM) 相关的离散树/对偶树对的缩放极限。综合这些结果表明，FK 装饰的 RPM 在某种“树结构”拓扑下缩放为 CLE 装饰的 LQG。