Liouville 量子引力与布朗映射 II：测地线与嵌入的连续性

我们赋予 $\sqrt{8/3}$-Liouville 量子引力球面一个度量空间结构，并证明所得的度量测度空间在法律意义上与布朗映射一致。回顾一下，Liouville 量子引力球面先验地自然由欧几里得球面 ${\mathbf S}^2$ 参数化。本系列先前的工作使用量子 Loewner 演化（QLE）在 ${\mathbf S}^2$ 的一个可数稠密子集上构造了一个度量 $d_{\mathcal Q}$。本文中我们证明 $d_{\mathcal Q}$ 几乎必然唯一且连续地延拓为整个 ${\mathbf S}^2$ 上的度量 $\bar{d}_{\mathcal Q}$。令 $d$ 表示 ${\mathbf S}^2$ 上的欧几里得度量，我们证明 $({\mathbf S}^2, d)$ 与 $({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$ 之间的恒等映射在两个方向上都是几乎必然 Hölder 连续的。我们建立了 $({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$ 的若干其他性质，最终得出（作为一个随机度量测度空间）它在法律意义上与布朗映射一致。我们对布朗圆盘和平面建立了类似的结果。我们的证明涉及对 QLE 球及其相关量子曲面的大小与形状的新估计，以及对 $({\mathbf S}^2, \bar{d}_{\mathcal Q})$ 测地线的细致分析。