刘维尔量子引力中度量球的体积

我们研究刘维尔量子引力（LQG）中度量球的体积。对于 $\gamma \in (0,2)$，自Kahane（1985）与Molchan（1996）的早期工作以来已知，欧氏球的LQG体积恰在 $p \in (-\infty, 4/\gamma^2)$ 时具有有限矩。在此，我们证明LQG度量球的LQG体积容许所有有限矩。这回答了Gwynne与Miller的一个问题，并推广了Le Gall针对布朗映射（即 $\gamma = \sqrt{8/3}$ 情形）所得的结果。我们利用该矩界证明，在紧集上大小为 $r$ 的度量球的体积由 $r^{d_{\gamma}+o_r(1)}$ 给出，其中 $d_{\gamma}$ 为LQG度量空间的维数。使用类似技术，我们证明了刘维尔布朗运动从度量球首次逸出时间的类似结果。Gwynne-Miller-Sheffield（2020）证明了当 $\gamma =\sqrt{8/3}$ 时，$\gamma$-LQG的度量测度空间结构几乎必然确定其共形结构；他们的论证与我们的估计给出了对所有 $\gamma \in (0,2)$ 的结果。