物质中心电荷在 $(1,25)$ 的刘维尔量子引力：一种概率方法

关于二维中具有中心电荷 ${\mathbf{c}}_{\mathrm M}\in(-\infty,1]$ 的共形物质场的刘维尔量子引力（LQG）已有大量文献。经由 DDK 猜想，LQG 也可等价地描述为将 $\gamma$ 乘以平面高斯自由场（GFF）的某种变体后再取指数所得到的随机几何，其中 $\gamma\in(0,2]$ 满足 $\mathbf c_{\mathrm M}=25-6(2/\gamma+\gamma/2)^2$。物理考量表明 LQG 在 $\mathbf c_{\mathrm M}>1$ 的 regime 中也应有意义。然而，该 regime 中的行为相当神秘，部分原因在于对应的 $\gamma$ 值为复数，因此各种公式的解析延拓给出难以在概率框架下解释的复数结果。我们引入并研究了一种对所有 $\mathbf c_{\mathrm M}\in(-\infty,25)$ 均有意义的 LQG 离散化。我们的离散化由一个随机平面地图构成，定义为用二进平方铺砌平面的邻接图，这些平方相对于 GFF 均具有近似相同的“LQG 尺寸”。我们证明若干与维度相关量的公式在 $\mathbf c_{\mathrm M}\in(1,25)$ 时仍然成立，前提是当公式给出复数答案时维度为无穷。特别地，我们证明了（几何）KPZ 公式在 $\mathbf c_{\mathrm M}\in(1,25)$ 的推广，其给出有限量子维度当且仅当欧氏维度不超过 $(25-\mathbf c_{\mathrm M})/12$。我们还表明，我们离散模型中典型点之间的图距离呈多项式增长，而半径 $r$ 的图距离球基数增长快于 $r$ 的任意幂次（这暗示对于 $\mathbf c_{\mathrm M}\in(1,25)$ LQG 的 Hausdorff 维度为无穷）。我们附上了一份大量的开放问题列表。