Liouville量子引力与KPZ

考虑一个有界平面区域D，D上的高斯自由场h的一个实例（Dirichlet能量归一化为1/(2π)），以及一个常数0 < γ < 2。D上的Liouville量子引力测度是当ε趋于0时测度ε^{γ^2/2} e^{γ h_ε(z)}dz的弱极限，其中dz是D上的Lebesgue测度，h_ε(z)表示h在半径为ε、中心为z的圆上的平均值。给定D的一个随机（或确定性的）子集X，可以使用Lebesgue测度或此随机测度来定义X的标度维数。我们推导了这两个维数之间的一个一般二次关系，我们将其视为共形场论中KPZ关系的概率论表述。我们还给出了KPZ的边界类比（针对D边界的子集）。我们讨论了离散和连续量子引力之间的联系，并提供了一个通过量子引力理解欧几里得标度指数的框架。