R^4 中的高斯自由场与 KPZ 关系
概率论
2012-10-31 v1 数学物理
泛函分析
math.MP
摘要
本工作旨在将 Duplantier 和 Sheffield 关于 Liouville 量子引力的部分二维结果推广至四维，并指出向其他偶数维空间 R^(2n) 以及 Riemann 流形推广的可能性。令 "\Theta" 为 R^4 上的高斯自由场，其底层 Hilbert 空间为 Sobolev 空间 H^2，内积由算子 (I-\Delta)^2 确定。假设 "\theta" 是 \Theta 中的一个一般元素。我们考虑 R^4 上的一列随机 Borel 测度，其中每一个关于 Lebesgue 测度 dx 绝对连续，且其密度函数由以 R^4 中 x 为参数的中心化高斯族的指数给出。我们证明，以概率 1，该测度序列弱收敛于一个极限随机测度，该测度可"形式上"写为 "exp(2\gamma\theta(x)dx"。在此设定下，我们还证明了一个 KPZ 关系，即 R^4 上有界 Borel 集在 Lebesgue 测度下的标度指数与其在上述随机测度下的对应量之间的二次关系。我们的方法类似于 Duplantier 和 Sheffield 在二维中使用的方法，但针对 R^4 进行了适配。
引用
@article{arxiv.1210.8051,
title = {Gaussian Free Fields and KPZ Relation in R^4},
author = {Linan Chen and Dmitry Jakobson},
journal= {arXiv preprint arXiv:1210.8051},
year = {2012}
}