关于二维离散高斯自由场的中等水平集

我们考虑适当正则的连续区域 $D\subset\mathbb C$ 的放大（方格点阵）版本上的离散高斯自由场（DGFF），并描述了对于任意 $\lambda\in(0,1)$，高度为绝对最大值高度的 $\lambda$ 倍的水平集的标度极限，包括其局部结构。我们证明，在标度极限下，从该水平集中采样的典型点 $x$ 的标度空间位置服从 $D$ 中参数等于其临界值 $\lambda$ 倍的 Liouville 量子引力（LQG）测度，$x$ 处的场值具有指数强度测度，且 $x$ 附近减去 $x$ 处值的构型服从减去势核适当倍数的钉扎 DGFF 的规律。特别地，适当归一化后，水平集总大小的规律收敛于 LQG 测度总质量的规律。这显著地细化了 Daviaud 早先的结论。