离散高斯等高线的极限律

考虑位于硬地板上 $L\timesimes L$ 盒子中的 $(2+1)$ 维离散高斯（ZGFF，整数值高斯自由场）模型。Bricmont、El-Mellouki 和 Fröhlich（1986）证实，在足够低的温度下，该随机表面表现出熵排斥：地板将平均高度推升至关于 $L$ 的多重对数级别。第二作者、Martinelli 和 Sly（2016）证明了，除特殊的 $L$ 值外，该表面具有一个高度集中于显式整数 $H(L)$ 的平台，且该平台几乎填满整个正方形。该文曾猜想，此平台的边界——即表面的顶部等高线——应具有 $L^{1/3+o(1)}$ 的随机涨落。我们证实了 [LMS16] 的这一猜想，并进一步求得了顶部等高线的极限律：存在一个显式序列 $N=L^{1-o(1)}$，使得顶部等高线与 $I$（沿侧边界居中、长度为 $N^{2/3}$ 的区间）的距离，在将其重标度为 $N^{1/3}$ 且区间宽度重标度为 $N^{2/3}$ 后，收敛至 Ferrari--Spohn 扩散。特别地，例如在 $I$ 中心处的等高线涨落，具有一个由 $N^{1/3}$ 重标度的 Airy 函数所表示的极限律。这给出了 $(2+1)$ 维 $|\nabla \phi|^p$ 模型（用于近似 3D Ising 模型与晶体形成）中首个证实其等高线具有 Ferrari--Spohn 极限律的实例（ZGFF 对应于 $p=2$ 的情形）。更一般地，我们求得了任意有限数目顶部等高线的联合极限律：将其与侧边界的距离分别按各自的 $(N_n^{2/3},N_n^{1/3})$ 进行重标度后，可得到 Ferrari--Spohn 律的乘积。这些新结果可推广至任意固定 $p>1$ 的 $|\nabla\phi|^p$ 模型的完整普适类。