临界预润湿中二维 Ising 界面的局部与全局几何

考虑在 $N\times N$ 盒子中、具有 Dobrushin 边界条件（北、东、西边界为加相，南边界为减相）的低温度、正外场 $\lambda$ 下的 Ising 模型。若 $\lambda = 0$，分隔加相与减相的界面是扩散的，具有 $O(\sqrt N)$ 的高度涨落，且模型完全润湿。在常数量级外场下，界面涨落为 $O(1)$，且界面仅部分润湿，被钉扎在其南边界上。我们研究 $\lambda_N \downarrow 0$ 的临界预润湿 regime，其中高度涨落预期按 $\lambda^{ -1/3}$ 缩放，且重标度化界面预测收敛到 Ferrari--Spohn 扩散。Velenik (2004) 在至多对数修正下确定了界面下方面积的量级。此后，此类界面更精细的特征仅在面积倾斜下随机游走的更简单模型中被识别。在本文中，我们解决了 Velenik 关于临界预润湿 regime 中 Ising 界面精细特征的若干猜想。我们的主要结果是对单点高度涨落的锐界，证明了 $e^{ - \Theta(x^{3/2})}$ 的上尾，令人联想到 Tracy--Widom 分布，捕捉了局部 Brownian 振荡与全局场效应之间的权衡。我们进一步证明了界面达到大高度之上点数的集中估计。这些被用于推得界面的各种几何性质，包括其围住面积的量级与尾分布，以及控制其最大高度涨落的多对数预因子。我们的论证结合了来自 Ising 界面随机线表示的经典输入与新颖的局部重采样和耦合方案。