二维离散高斯自由场的近极大值

我们考虑域 $D_N\subseteq\mathbb Z^2$ 中的离散高斯自由场（DGFF），这些域通过按 $N$ 缩放由良好域 $D\subseteq\mathbb R^2$ 得到。我们研究低于绝对最大值 $\sqrt{\log N}$ 量级的取值统计。编码为 $D\times\mathbb R$ 上的点过程，$D_N$ 中这些近极值水平集的缩放空间分布与场值（以低于绝对最大值的 $\sqrt{\log N}$ 为单位）当 $N\to\infty$ 时依分布收敛到临界刘维尔量子引力（cLQG）$Z^D$ 与瑞利律的乘积。该收敛与极值过程联合成立，对后者 $Z^D$ 作为极限泊松点过程的强度测度进入，且与 DGFF 本身的过程成立；由极限场定义的 cLQG 随后与 $Z^D$ 一致。虽然极限近极值过程关于极限连续 GFF 可测，但极限极值过程不可测。我们的结果解释了为何各种对格子 cLQG 测度“归一化”的方式导致相同的极限对象，模去整体归一化。