通过对数相关高斯场水平集统计得到泊松-狄利克雷律的普适性

许多低温无序系统预期会展现泊松-狄利克雷（PD）统计。本文关注底层无序为盒 $[-N,N]^d\subset\mathbb{Z}^d$ 上对数相关高斯过程 $\phi_N$ 的情形。典型例子包括分支随机游走、$*$-尺度不变场，其中核心例子为二维高斯自由场（GFF）——一类广泛统计力学模型的普适标度极限。将 $\beta$（逆温度）乘以 $\phi_N$ 后取指数所得的相应吉布斯测度是 Kahane 著名构造的高斯乘性混沌（GMC）的离散版本。在低温或超临界区，经适当重整化后 GMC 预期呈现原子性行为，由 $\phi_N$ 的极值统计所主导。此外，早在 2001 年 Carpentier 与 Le Doussal 提出的猜想便预测，该原子性 GMC 的权重具有 PD 分布。在一系列工作中，Biskup 与 Louidor 对二维 GFF 的近极大值进行了全面研究，并确立了整个超临界区中猜想的 PD 行为。另一方向上，Ding、Roy 与 Zeitouni 确立了一类一般对数相关高斯场极大值的普适行为。本文在仅假设对数相关性而无其他条件下推进该计划。我们证明 GMC 集中于局部极值的 $O(1)$ 邻域内，且 PD 预测在任意维度 $d$ 的整个超临界区成立，显著推广了以往结果。与二维 GFF 不同，一般高斯场缺乏任何马尔可夫结构，我们发展并以关键输入形式使用了水平集大小的锐估计，其可能有其他应用。