对数相关高斯场：综述

我们综述了对数相关高斯场 (LGF) 的性质，这是一种定义在$\mathbb R^d$上的中心化高斯随机分布（广义函数）$h$，其定义相差一个全局加法常数。其分布律由协方差公式$$\mathrm{Cov}\bigl[ (h, \phi_1), (h, \phi_2) \bigr] = \int_{\mathbb R^d \times \mathbb R^d} -\log|y-z| \phi_1(y) \phi_2(z)dydz$$确定，该公式适用于均值为零的测试函数$\phi_1, \phi_2$。LGF 属于更大的分数高斯场族，后者通过对$\mathbb R^d$上的白噪声$W$应用拉普拉斯算子的分数幂得到，形式为$h = (-\Delta)^{-d/4} W$。相比之下，高斯自由场 (GFF) 在任何维度下形式均为$(-\Delta)^{-1/2} W$。当$d \in \{2,1\}$时，LGF 分别与 2D GFF 及其在直线上的限制重合。这些对象出现在共形场论和 SLE、随机曲面、随机矩阵、Liouville 量子引力以及（当$d=1$时）金融学的研究中。高维 LGF 出现在湍流模型和早期宇宙学中。LGF 与级联模型和高斯分支随机游走密切相关。我们回顾了 LGF 的近似方案、限制性质、马尔可夫性质、共形对称性以及乘法混沌应用。