对数相关场的分解及其应用

本文建立了取值于适当广义函数空间的高斯场的新颖分解,并利用这些分解证明关于高斯乘性混沌的结果。我们证明两个分解定理。第一个是全局的,指出若两个取值于某 Sobolev 空间的高斯场的协方差核之差具有合适的 Sobolev 正则性,则这些场相差一个 H"older 连续高斯过程。我们的第二个分解定理更具专门性,处于协方差核在对角线上具有对数奇异性——即对数相关高斯场——的高斯场情形。该定理指出,任意对数相关高斯场 $X$ 都可在局部分解为一个 H"older 连续函数与一个独立的几乎 $\star$-尺度不变场(一类具有“锥状”白噪声表示的平稳对数相关特殊类)之和。当协方差核 $C_X(x,y)=\log(1/|x-y|)+g(x,y)$ 中的项 $g$ 具有局部 $H^{d+\varepsilon}$ Sobolev 光滑性时,该分解成立。我们利用这些分解将一些基本仅对 $\star$-尺度不变场已知的结果推广到一般对数相关场。这些结果包括临界乘性混沌的存在性、次临界混沌在所谓逆温度参数 $\beta$ 下的解析延拓,以及在与虚数乘性混沌研究中起作用的广义 Onsager 型协方差不等式。