二维离散高斯自由场的极端局部极值

我们考虑边长为 $N$ 的 $\mathbb Z^2$ 正方形盒子中具有零边界条件的离散高斯自由场，并研究当 $N\to\infty$ 时，其适当居中的极值 ($h$) 及其缩放空间位置 ($x$) 的联合分布律。我们将注意力限制在极端局部最大值上，即在其 $r_N$ 邻域内为极大的极值点，证明只要 $r_N\to\infty$ 且 $r_N/N\to0$，相关过程就趋向于一个强度测度为 $Z(dx)e^{-\alpha h}dh$ 的泊松点过程，其中 $\alpha:= 2/\sqrt{g}$，$g:=2/\pi$，且 $Z(dx)$ 是 $[0,1]^2$ 上的随机 Borel 测度。特别是，这给出了绝对最大值分布律的积分表示，类似于在分支布朗运动 (Branching Brownian Motion) 背景下发现的结果。我们提供了证据表明，随机测度 $Z$ 是与连续高斯自由场相关的导数鞅的一个版本。