壁面上方 SOS 表面的水平线涨落

我们研究在 $[[1, L ]]^2$ 上具零边界条件与非负高度（高度 $0$ 处的地板）的低温度 $(2+1)$ 维 Solid-On-Solid 模型。Caputo 等人（2016）确立该随机表面通常具有显式 $\mathfrak h\asymp \log L$ 的 $\mathfrak h$ 或 $\mathfrak h+1$ 条嵌套宏观水平线环 $\{\mathcal L_i\}_{i\geq 0}$，且其顶环 $\mathcal L_0$ 有立方根涨落：例如，若 $\rho(x)$ 为 $\mathcal L_0$ 距底边界点 $(x,0)$ 的竖直位移，则对 $x\in I_0:=L/2+[[-L^{2/3},L^{2/3}]]$ 有 $\max \rho(x) = L^{1/3+o(1)}$。人们相信将 $\rho$ 按 $L^{1/3}$ 缩放、将 $I_0$ 按 $L^{2/3}$ 缩放会得到 $[-1,1]$ 上扩散的极限律。然而，对固定 $x\in I_0$（如 $x=\frac L2$）的 $\rho(x)$ 此前无已知非平凡下界，更毋论 $I_0$ 中 $\min\rho(x)$ 的下界，以补充 $\max\rho(x)$ 的界。此处我们给出预测阶 $L^{1/3}$ 的下界：对任意 $\epsilon>0$ 存在 $\delta>0$ 使得 $\min_{x\in I_0} \rho(x) \geq \delta L^{1/3}$ 的概率至少 $1-\epsilon$。证明依赖于 Campanino-Ioffe-Velenik 的 Ornstein--Zernike 机制，以及 Ioffe、Shlosman 与 Toninelli（2015）排除边界上具修正相互作用的 Ising 聚合物中钉扎的结果。途中，我们将后者结果精炼为布朗 excursion 极限律，这或有独立意义。我们进一步证明，在边界条件为 $\mathfrak h-1,\mathfrak h,\mathfrak h,\mathfrak h$（即底边为 $\mathfrak h-1$，其余为 $\mathfrak h$）的 $K L^{2/3}\times K L^{2/3}$ 盒中，当 $K,L\to\infty$ 时 $\rho(x)$ 的极限为 Ferrari--Spohn 扩散。